Es gibt ein Skript zur Vorlesung. Einige Details werden zur Zeit noch bearbeitet. Die aktuelle Version des Skripts finden Sie hier. Allerdings werde ich das erste Kapitel (Definition des Lebesgue-Integrals) anders behandeln als im Skript. Im Skript wurde der Zugang gewählt, erst das Integral zu definieren und daraus abgeleitet das Maß von Teilmengen des R^n. In dieser Vorlesung werde ich zuerst den allgemeinen Begriff des Maßes einführen und dann das Integral für beliebige Maßräume definieren. Dies ist im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitstheorie sinnvoll, wo der Maßbegriff auch für andere Räume als R^n benötigt wird. Außerdem wird auf diese Weise die Analogie von Summieren und Integrieren auf eine solide Basis gestellt.
Es gibt viele Bücher, die diesen Zugang wählen, meist mit Titeln wie Maß- und Integrationstheorie oder Measure and Integration oder auch Real Analysis. Diese enthalten meist sehr viel mehr Details als in dieser Vorlesung behandelt werden können. Ich empfehle besonders:
D.H.Fremlin: Measure Theory, Volume one: The irreducible Minimum
D. Werner: Einführung in die höhere Analysis, Kapitel IV
J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie
Fremlin konzentriert sich, wie der Titel schon sagt, auf das Wesentliche - das kommt der Vorlesung recht nahe. Er hat eine eher ungewöhnliche Notation. Werner ist etwas systematischer, führt dafür aber am Anfang mehr Begriffe ein als wir brauchen werden. Elstrodt ist sehr systematisch und extrem detailliert und gibt viele interessante Erklärungen, unter anderem historischer Art.
Alle diese Bücher stehen im Handapparat zur Vorlesung in der Bibliothek. Die Bücher von Werner und Elstrodt sind im Uni-Netz hier bzw. hier zugänglich, einzelne Kapitel können auch heruntergeladen werden. Das Buch von Fremlin gibt es hier, allerdings nur als tex-Datei. Nach dem Herunterladen muss es mit AMS-TeX (das ist ein Teil der üblichen TeX-Installationen) kompiliert werden.
Für die folgenden Teile der Vorlesung (Untermannigfaltigkeiten und deren Volumen, Integralsätze) sind z.B. die Bücher von Königsberger (Analysis II, kommt meiner Darstellung in der Vorlesung am nächsten), Kaballo (Analysis III) und Forster (Analysis III, ähnlicher, doch in einigen Punkten stark abweichender Zugang) zu empfehlen.