{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 
0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Fo
nt 0" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 9 128 0 128 1 2 2 2 2 2 
2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Font 2" -1 257 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 8 0 128 128 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 
0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Seitenumbruch" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 
0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 
2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" 
-1 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 
1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 
"Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 
}}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Algebra 2:" }}{PARA 261 
"" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 11 " Aufgabe 42" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Es handel
t sich um die Bestimmung der Singul\344rstellen des folgenden Polynoms
:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "f:=y^2*x*z-x^2*y*z^2-x
^2*y*z+x*y*z+x+y+z-1;" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 160 "Um die Singul\344rstellen zu finden, m\374ssen die L\366sungen
 des Gleichungssystems gefunden werden, in dem alle drei partiellen Ab
leitungen gleich Null gesetzt werden." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "
Ich benutze im Folgenden die lex-Ordnung:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 74 "a:=sort(diff(f,x),plex);\nb:=sort(diff(f,y),plex);
\nc:=sort(diff(f,z),plex);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 " Um
 dieses Gleichungssystem zu l\366sen, lassen wir Maple eine reduzierte
 Gr\366bnerbasis finden. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
15 "with(Groebner):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "abc:=[a,b,c]
:\nGB:=map(sort,gbasis(abc,plex(x,y,z)),[x,y,z],plex);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 284 "Man sieht zwar, dass in der einen Kompon
ente nur z vorkommt, was es leichter macht, sie zu l\366sen (wir haben
 hier eine \"regul\344re Position\"), aber die Koeffizienten sind sehr
 gro\337. Der Hinweis auf Maple war zweckm\344\337ig. Man kann bei dem
 Polynom Z (siehe unten) leider nichts ausklammern." }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "Z:=GB[1];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 107 "Vielleicht kann man es faktorisieren? Oder zeichnen, um \+
herauszufinden, wieviele reelle Nullstellen es hat?" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(Z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 34 "plot(Z,z=-0.9..0.9,numpoints=200);" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Genauer betrachtet:" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 54 "P1:=plot(Z,z=-0.402..-0.394,color=red, numpoints=300)
:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "P2:=plot(-.63167303e-1,z=-0.40
2..-0.394,t=-0.06355..-0.0631,color=blue, numpoints=300):" }}{PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 15 "display(P1,P2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "
fsolve(diff(GB[1],z));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "s
ubs(z=-.3979168933,Z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Also gu
t. Wir suchen zwei reelle Nullstellen. Dazu verwenden wir die solve-Fu
nktion" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "loesz:=[solve(op(
1,GB)=0,z)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "evalf(\{%\}
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "fsolve(op(1,GB)=0,z);
" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 184 "Nach einem kurzen Vergleich \+
mit dem Plot und zwei zufriedenstellenden L\366sungen rechne mit diese
n beiden weiter. \nDie erste hei\337t im Folgenden op(1,loesz), die zw
eite hei\337t op(6,loesz)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
40 "solve(subs(z=op(1,loesz),op(2,GB))=0,y):" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 13 "y1:=evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 40 "solve(subs(z=op(1,loesz),op(3,GB))=0,x):" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 37 "x1:=evalf(%);\nz1:=evalf(op(1,loesz));" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Die erste L\366sung ist also die Singul
\344rstelle" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "sing1:=[x1,y
1,z1];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "solve(subs(z=op(6
,loesz),op(2,GB))=0,y):\ny2:=evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 40 "solve(subs(z=op(6,loesz),op(3,GB))=0,x):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "x2:=evalf(%);\nz2:=evalf(op(6,loesz
));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Die zweite Singul\344rstel
le ist" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "sing2:=[x2,y2,z2]
;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Zum Schluss noch der Versuch
, dieses Ergebnis direkt zu bekommen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 29 "solve(\{a=0,b=0,c=0\},\{x,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "evalf(\{%\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 30 "fsolve(\{a=0,b=0,c=0\},\{x,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "D
a fehlt jeweils ein Ergebnis, aber wieso?" }}}}{MARK "0 0 0" 10 }
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