{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "MS Sans Serif" 1 8 128 0 128 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Font 0" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 9 128 0 128 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Font 2" -1 257 1 {CSTYLE " " -1 -1 "Courier" 1 8 0 128 128 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Seitenumbruch" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Time s" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Font 0" -1 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 9 128 0 128 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "R3 Font 2" -1 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier " 1 8 0 128 128 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Seitenumbruch" -1 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 0 2 1 2 0 0 2 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 0 -1 0 }{PSTYLE "R3 \+ Font 0" -1 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 9 128 0 128 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "R3 Font 2" -1 265 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 8 0 128 128 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Algebra 2, WiSe 2004/2005 " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Aufgabe (41)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "restart:wit h(Groebner):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Falls Sie eine \+ \344ltere Version von Maple benutzen ist der folgende Befehl hinf\344l lig:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "with(PolynomialIdea ls):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Stattdessen k\366nnen Sie die beiden folgenden Prozeduren aktivieren und benutzen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 40 " Prozeduren \"zdimradical\" und \"Kbasis \":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1297 "######################################### \n# PROZEDUR zdimradical nach [CLS2] p. 41 #\n# \+ \+ #\n# berechnet eine Basis f\374r das Radikalideal \+ #\n# eines null-dimensionalen Ideals und erzeugt #\n# \+ eine Fehlermeldung, wenn das Ideal nicht #\n# null-d imensional ist #\n# \+ \+ #\n# ben\366tigt: with(Groebner): \+ #\n# \+ #\n######################################### \n\nzdimradical := proc(PList,VList)\n local p,pred,v,RL ist;\n if is_finite(PList,VList) then\n \+ RList := PList;\n for v in VList do\n \+ p := univpoly(v,PList,VList); \n \+ pred := simplify(p/gcd(p,diff(p,v))); \n \+ RList := [op(RList),pred]\n od;\n \+ RETURN(RList)\n else ERROR(`Das \+ vorgegebene Ideal ist nicht nulldimensional !!!`)\n \+ fi\n end:\n\n\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1586 " #####################################################\n# PROZEDUR \+ Kbasis nach [CLS2] p. 41 \n# \+ \n# Berechnet eine Liste B von Monomen, die eine K-Basis der \n# kanonis chen Darstellung < B > des Faktorrings \n# K[VLi st]/ bez\374glich der Monomordnung torder bilden \n# \+ unter der Voraussetzung, da\337 das Ideal null-dimensional ist . \n# Es wird eine Fehlermel dung erzeugt, wenn dies nicht der Fall ist. \+ #\n# \+ \n# ben\366tigt: with(Groebner) \+ \n# \+ ######################## #############################\n\nKbasis :=\n\n proc(PList,VList,torder )\n local B,C,G,v,t,l,m, T;\n T:=torder(op(VList));\n if is_fin ite(PList,VList) then\n G := gbasis(PList,T);\n B := [ 1];\n for v in VList do\n m := degree(univpoly(v,G ,VList),v);\n C := B;\n for t in C do\n \+ for l to m-1 do\n t := t*v;\n \+ if normalf(t,G,T) = t then\n B := [o p(B),t];\n fi\n od\n o d\n od;\n RETURN(B)\n else\n ERROR(`Das Id eal ist nicht null-dimensional, und es existiert keine endliche Basis. `)\n fi\n end:\n\n\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 " " 0 "" {TEXT -1 4 " (a)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 413 "In die ser Teil-Aufgabe kann ein Beispiel f\374r ein algebraisches Gleichungs system aus [CLS2] p.35 durchgerechnet werden, in dem das zugeh\366rige Ideal bereits sein eigenes Radikalideal ist, aber dennoch \"d1*d2\" g r\366\337er als die Anzahl der L\366sungen ist. Die genaue Anzahl der \+ L\366sungen kann nach Satz 18 in \2478 bestimmt werden. Da es sich um \+ ein \"sch\366nes\" Beispiel handelt, k\366nnen auch alle L\366sungen e xakt bestimmt werden." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Das Ideal I se i erzeugt von folgenden Polynomen :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "f1:=x^2+3*x*y/2+y^2/2-3*x/2-3*y/2;f2:=x*y^2-x;f3:=y^3-y;FI:=['f1', 'f2','f3'];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 246 "(i) Benutzen Sie die den Maplebefehl \"IsRadical\" ode r die Prozedur \"zdimradical\" zur \334berpr\374fung, ob I=Radikali deal(I) zutrifft. Im letzteren Falle muessen Sie reduzierte Gr\366bne rbasen berechnen, um das Ideal mit seinem Radikal zu vergleichen." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "(ii) Bestimmen Sie \"d1*d 2\" :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "(iii) Bestimme n Sie unter Benutzung der Prozedur \"Kbasis\" (oder anders) die genau e Anzahl der L\366sungen nach Satz 4.1.18 :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 74 "(iv) Bestimmen Sie die L\366sungen (z.B. einfach m it \"gsolve\" oder . . . ) :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 3 "(b)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 180 "In dieser Teilaufgabe k\366nnen Sie zu einem gegebenen I deal ein Radikalideal bestimmen, die zugeh\366rigen Gleichungssysteme l\366sen und die Ergebnisse mit den S\344tzen aus \2478 vergleichen. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Das I deal I sei erzeugt von folgenden Polynomen :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "f1:=z^2-2*x*y*z+x^2*y^2-1;f2:=x^3-y^2;f3:=y^3-z*x^2;F :=['f1','f2','f3'];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "0 0 0" 25 } {VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }