zu Aufgabe (8) vom 9. November 2009

>    restart:with(linalg): 

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>    a,u,b,v:=vector(4,[1,0,1,1]),vector(4,[2,3,2,3]),vector(4,[1,2,3,4]),vector(4,[1,1,0,1]);

a, u, b, v := vector([1, 0, 1, 1]), vector([2, 3, 2, 3]), vector([1, 2, 3, 4]), vector([1, 1, 0, 1])

a liegt nicht in U, da der zweite Eintrag von a eine 0 ist.

b liegt nicht in Gamma , da der erste Eintrag von b-a eine 0 ist und daher b-a nicht in U liegen kann.

Schneiden sich Gamma und Delta  ?

>    uv:=concat(u,v);

uv := matrix([[2, 1], [3, 1], [2, 0], [3, 1]])

>    linsolve(uv,b-a);

Laut Maple, das kein Ergebnis liefert, anscheinend nicht.

"Handrechnung"

Es wird mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen nachgeprüft, ob b-a im Aufspann <u,v> liegt:

>    uvba:=concat(uv,b-a);

>    addrow(swaprow(mulrow(mulrow(addrow(addrow(addrow(uvba,1,2,-3/2),1,3,-1),1,4,-3/2),2,2),4,2),4,3),2,3,-1);

uvba := matrix([[2, 1, 0], [3, 1, 2], [2, 0, 2], [3, 1, 3]])

matrix([[2, 1, 0], [0, -1, 4], [0, 0, 2], [0, -1, 2]])

An der vorletzten Zeile erkennt man, dass b-a nicht im Aufspann <u,v> liegt.

Also schneiden sich Gamma  und Delta  nicht.

Der Verbindungsraum   Gamma  v Delta    der beiden Geraden   Gamma  und Delta   hat daher die Dimension 3 und es ist

  Gamma  v Delta =a+<u,v,b-a>.

Die vorangegangene Rechnung zeigte auch, dass die Vektoren u,v,b-a linear unabhängig sind. Die vier Vektoren

a,a+u,a+v,b

bilden daher eine affine Basis des Raumes Gamma  v Delta  .

Es soll nun noch ein lineares Gleichungssystem bestimmt werden, das Gamma  v Delta  als Lösungsraum hat.

Dazu bestimme ich zunächst den eindimensionalen Untervektorraum Lös( [uv,b-a] , 0 ):

>    L:=linsolve(transpose(uvba),vector(3,0),'r',lambda);

L := vector([lambda[1], -2*lambda[1], 1/2*lambda[1], lambda[1]])

Ein Erzeugender Vektor dieses Raumes ist A:

>    A:=map(coeff,transpose(convert(L,matrix)),lambda[1],1);

A := matrix([[1, -2, 1/2, 1]])

Behauptung:         Gamma  v Delta  = Lös(A,Aa)

Jedenfalls ist der Lösungsraum ein dreidimensionaler affiner Unterraum !

Wenn bestätigt werden kann, dass die oben angegebene affine Basis von    Gamma  v Delta   in Lös(A,Aa) liegt, dann trifft die Behauptung zu:

>    evalm(A&*a),evalm(A&*b),evalm(A&*(a+u)),evalm(A&*(a+v));

vector([5/2]), vector([5/2]), vector([5/2]), vector([5/2])

O.K.