{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "MS Sans Serif" 1 8 128 0 128 1 
0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 
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1 }{CSTYLE "Roter Text" -1 256 "Tahoma" 0 0 255 0 0 1 2 1 1 0 0 2 0 0 
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{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 
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{PSTYLE "Heading 3" -1 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 1 
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{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "Anfang" {TEXT -1 37 "Einf\374hrung in die
 Algebra (Algebra 1)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "SoSe 2004" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Schmale" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Eine Bearbeitung zu Aufgabe (22)  (a) \+
und (b) " }{TEXT 260 22 "und ein Hinweis zu (c)" }}{PARA 262 "" 0 "" 
{TEXT 261 34 "(Aufgabenblatt 6 vom 24. Mai 2004)" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 160 "Es geht dabei nicht darum, fertige Maple-Anweisungen zu benutz
en, sondern vielmehr darum, auf der Maple-Oberfl\344che fast wie mit P
apier und Bleistift zu rechnen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Zuerst der K\366rper K= (  " }{XPPEDIT 
18 0 "Z[2];" "6#&%\"ZG6#\"\"#" }{TEXT -1 1 "[" }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#
%\"xG" }{TEXT -1 4 "]  )" }{XPPEDIT 18 0 "` `[2,x^2+x+1];" "6#&%\"~G6$
\"\"#,(*$%\"xGF&\"\"\"F)F*F*F*" }{TEXT -1 2 " :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "restart:with(linalg):with(Spread):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "K:=[0,1,x,x+1];" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 95 "Die Multiplikationstabelle von K\\\{0\} ist (es g
\344be auch andere Darstellungsm\366glichkeiten, s.u.):" }}{PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 196 "concat(matrix(5,2,[ `*`,`|`,` ---------`,`|`,
 1 , `|`,x,`|`,1+x,`|`]),stackmatrix(matrix(2,3,[1,x,1+x,`---------`,`
---------`,`---------`]),matrix(3,3,(i,j)->Rem(K[i+1]*K[j+1],x^2+x+1,x
) mod 2)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Die gerade erzeug
te Anzeige der Tabelle ist nat\374rlich ein wenig \"gebastelt\", aber \+
eben leicht zu bauen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Aufwendiger, abe
r dann u.U.  sch\366ner ist es, eine Tabelle, \344hnlich einer Excel-T
abelle anzulegen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "M:=CreateSprea
dsheet(Multiplikationstabelle);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 116 
"for i to 3 do for j to 3 do SetCellFormula(Multiplikationstabelle,i+1
,j+1,Rem(K[i+1]*K[j+1],x^2+x+1,x) mod 2);od:od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 63 "daraus l\344sst sich auch wieder eine bescheidenere \+
Form gewinnen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "matrix(4,4,(i,j)-
>GetCellValue(Multiplikationstabelle,i,j));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 8 " (22)(a)" 
}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Zuerst \374berlegt man sich, das
s es gen\374gt, Polynome mit h\366chstem Koeffizienten (hK) 1 zu betra
chten." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Ein solches Polynom vom Grad 2 \+
ist genau dann unzerlegbar, wenn es " }{TEXT 257 5 "nicht" }{TEXT -1 
47 " Produkt zweier linearer Faktoren mit hK 1 ist." }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 35 "Die linearen Polyome mit hK 1 sind:" }}{PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 26 "LPy:=[seq(y+K[i],i=1..4)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 215 "Es gibt 16 M\366glichkeiten, solche Polynome zu zweie
n zu multiplizieren. Wegen des Kommutativgesetzes sind die Ergebneisse
 aber nicht alle verschieden, sodass man nur 10 zerlegbare Polynome vo
m Grad 2 mit hK 1 erh\344lt:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "mat
rix(4,4,(i,j)->collect(Rem(LPy[i]*LPy[j],x^2+x+1,x) mod 2,y));" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Jedes Polynom vom Grad 2 mit hK 1,
 das nicht in dieser Liste aufgef\374hrt ist, ist unzerlegbar, " }
{TEXT 258 24 "insbesondere das Polynom" }{TEXT -1 3 "   " }{XPPEDIT 
18 0 "y^2+y+x" "6#,(*$%\"yG\"\"#\"\"\"F%F'%\"xGF'" }{TEXT 259 1 "." }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 34 " Wie rech
net man in L=(   K[y]   )" }{XPPEDIT 18 0 "` `[2,y^2+y+x]" "6#&%\"~G6$
\"\"#,(*$%\"yGF&\"\"\"F)F*%\"xGF*" }{TEXT -1 6 "     ?" }}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Z.B. kann mit  " }{XPPEDIT 18 0 "f := x*y
+x+1;" "6#>%\"fG,(*&%\"xG\"\"\"%\"yGF(F(F'F(F(F(" }{TEXT -1 7 "  und  \+
" }{XPPEDIT 18 0 "g := (x+1)*y+1;" "6#>%\"gG,&*&,&%\"xG\"\"\"F)F)F)%\"
yGF)F)F)F)" }{TEXT -1 46 "  das Produkt in L wie folgt berechnet werde
n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
73 "f := x*y+x+1:g := (x+1)*y+1:\nfg:=Rem(rem(f*g,y^2+y+x,y),x^2+x+1,x
) mod 2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Dasselbe muss sich in
 diesem Fall aber auch anders herum ergeben (vgl. Aufgabe (22)(c)):" }
}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "rem(Rem(f*g,x^2+x+1,x) mod 2,y^2+y
+x,y) mod 2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Die  Berechnung k
ann z.B. so automatisiert und die Ausdr\374cke gleich nach y zu sortie
rt werden:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "mL:=(f,g)->sort(Rem(r
em(f*g,y^2+y+x,y),x^2+x+1,x) mod 2,y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 8 "mL(f,g);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Unten
 in (b) wird mL einmal benutzt werden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "zur\374ck zum Anfang" 1 "" "Anfan
g" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}
}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 25 " (22)(b) Berechnung von  " }
{XPPEDIT 18 0 "y^(-1);" "6#)%\"yG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 29 "  \374be
r eine B\351zout-Identit\344t:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 36 "EM:=matrix(3,2,[y,y^2+y+x,1,0,0,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 48 "ein paar elementare Umformungen f\374hren zum Ziel:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "EM1:=map(modp,addcol(EM,1,2,
-y),2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "EM2:=map(modp,ad
dcol(EM1,1,2,-1),2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "Bereits \+
jetzt ist der (1,2)-Eintrag konstant (in K) und man kann auf 1 normier
en durch Multiplikation der zweiten Spalte mit " }{XPPEDIT 18 0 "x+1;
" "6#,&%\"xG\"\"\"F%F%" }{TEXT -1 2 " ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 35 "EM3:=map(modp,mulcol(EM2,2,x+1),2);" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 147 "... na ja, woher soll Maple wissen, dass in K \+
gerechnet wird. Wie folgt kann Maple gezwungen werden, in den Matrizen
eintr\344gen \"richtig\" zu rechnen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 51 "EM4:=map(u->collect(Rem(u,x^2+x+1,x) mod 2,y),EM3);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Man k\366nnte nun weiterrechnen
, um y noch auszur\344umen, und um die 1 in die erste Spalte zu bringe
n:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "map(modp,swapcol(addc
ol(EM4,2,1,-y),1,2),2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 128 "Letzt
eres ist aber unn\366tig, da uns nur der Eintrag unter der 1 interessi
ert. Dieser ist n\344mlich gerade das gesuchte Inverse zu  " }
{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 4 "   :" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "y^(-1) = (x+1)*y+x+1;" "6#/)%\"yG,$\"\"
\"!\"\",(*&,&%\"xGF'F'F'F'F%F'F'F,F'F'F'" }{TEXT -1 4 "   ." }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Probe:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "mL(y,EM4[2,2]);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "zur\374ck zu
m Anfang" 1 "" "Anfang" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}
{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 25 " Zusatz: Berechnung von  " }
{XPPEDIT 18 0 "y^(-1);" "6#)%\"yG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 26 "  \374be
r die Gruppenordnung:" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Der K
\366rper L hat 16 Elemente und daher hat seine multiplikative Gruppe d
ie Ordnung 15 und nach dem Satz von Lagrange muss gelten  " }{XPPEDIT 
18 0 "y^15 = 1;" "6#/*$%\"yG\"#:\"\"\"" }{TEXT -1 3 "  ." }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 33 "Aus diesem Grund ist dann aber   " }{XPPEDIT 18 0 
"y^(-1) = y^14;" "6#/)%\"yG,$\"\"\"!\"\"*$F%\"#9" }{TEXT -1 43 "  .  W
elchem Element von L entspricht das ?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Dazu muss in K[y] das Polynom  " }
{XPPEDIT 18 0 "y^14;" "6#*$%\"yG\"#9" }{TEXT -1 29 "  mit Rest durch d
as Polynom " }{XPPEDIT 18 0 "y^2+y+x;" "6#,(*$%\"yG\"\"#\"\"\"F%F'%\"x
GF'" }{TEXT -1 92 "  dividiert werden. Dies ist i.A. und so auch hier \+
viel aufwendiger als die Bestimmung von  " }{XPPEDIT 18 0 "y^(-1);" "6
#)%\"yG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 35 "  mit Hilfe einer B\351zout-Identi
t\344t." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Man erh\344lt als Darstellung \+
f\374r  " }{XPPEDIT 18 0 "y^14;" "6#*$%\"yG\"#9" }{TEXT -1 7 "  in L:
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 47 "Rem(Rem(y^14,y^2+y+x,y) mod 2,x^2+x+1,x) mod 2;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "collect(%,y);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "zur\374ck zu
m Anfang" 1 "" "Anfang" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "0 5 0" 34 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 
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