zu Aufgabe (8) vom 9. November 2009
> | restart:with(linalg): |
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> | a,u,b,v:=vector(4,[1,0,1,1]),vector(4,[2,3,2,3]),vector(4,[1,2,3,4]),vector(4,[1,1,0,1]); |
a liegt nicht in U, da der zweite Eintrag von a eine 0 ist.
b liegt nicht in , da der erste Eintrag von b-a eine 0 ist und daher b-a nicht in U liegen kann.
Schneiden sich und ?
> | uv:=concat(u,v); |
> | linsolve(uv,b-a); |
Laut Maple, das kein Ergebnis liefert, anscheinend nicht.
"Handrechnung"
Es wird mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen nachgeprüft, ob b-a im Aufspann <u,v> liegt:
> | uvba:=concat(uv,b-a); |
> | addrow(swaprow(mulrow(mulrow(addrow(addrow(addrow(uvba,1,2,-3/2),1,3,-1),1,4,-3/2),2,2),4,2),4,3),2,3,-1); |
An der vorletzten Zeile erkennt man, dass b-a nicht im Aufspann <u,v> liegt.
Also schneiden sich und nicht.
Der Verbindungsraum v der beiden Geraden und hat daher die Dimension 3 und es ist
v =a+<u,v,b-a>.
Die vorangegangene Rechnung zeigte auch, dass die Vektoren u,v,b-a linear unabhängig sind. Die vier Vektoren
a,a+u,a+v,b
bilden daher eine affine Basis des Raumes v .
Es soll nun noch ein lineares Gleichungssystem bestimmt werden, das v als Lösungsraum hat.
Dazu bestimme ich zunächst den eindimensionalen Untervektorraum Lös( [uv,b-a] , 0 ):
> | L:=linsolve(transpose(uvba),vector(3,0),'r',lambda); |
Ein Erzeugender Vektor dieses Raumes ist A:
> | A:=map(coeff,transpose(convert(L,matrix)),lambda[1],1); |
Behauptung: v = Lös(A,Aa)
Jedenfalls ist der Lösungsraum ein dreidimensionaler affiner Unterraum !
Wenn bestätigt werden kann, dass die oben angegebene affine Basis von v in Lös(A,Aa) liegt, dann trifft die Behauptung zu:
> | evalm(A&*a),evalm(A&*b),evalm(A&*(a+u)),evalm(A&*(a+v)); |
O.K.