-- die zugehörige mws-Datei ist hier hinterlegt.

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restart:

>	with(LinearAlgebra):

>

c:=0;

>	phi:=2*x1^2+x2^2-x3^2-x4^2+c;

Die Matrix dieses quadratischen Polynoms ist

>	A:=Matrix([[coeff(phi,x1,2),0,0,0],[0,coeff(phi,x2,2),0,0],[0,0,coeff(phi,x3,2),0],[0,0,0,coeff(phi,x4,2)]]);

>	lambda:=x1-x2-x4-1;

>	mu:=x1+x2-x3-1;

Entsprechende Normalenvektoren sind

>	B:=u-><seq(coeff(u,x||k,1),k=1..4)>:

>	B(lambda),B(mu);

Nicht gefragt ist die folgende Bestimmung eines Polynoms, das sich bei Elimination von  mit Hilfe der Polynome  und  ergibt:

>	sx4:=solve(lambda,x4);

>	sx3:=solve(subs(x4=sx4,mu),x3);

>	subs(x4=sx4,x3=sx3,phi);

>	xi:=expand(%);

Die Nullstellenmenge von     in  sieht so aus:

>	plots[implicitplot](xi,x1=-100..100,x2=-100..100,numpoints=10000,scaling=constrained,axes=boxed);

Die Nullstellenmenge von     in  sieht z.B. so aus (in  kann man es sich leider nicht mit Paple ansehen):

>	plots[implicitplot3d](xi,x1=-100..100,x2=-100..100,x3=-100..100,numpoints=10000,scaling=constrained,axes=boxed);

>

Das Polynom     ist aber nicht das in der Aufgabe gesuchte!

Warum?

Orthonormale Basisergänzung zum Orthogonalraum zu . Dadurch erhält man eine orthogonale Matrix für die gesuchte lineare Abbildung l    :

>	BB:=<B(lambda)|B(mu)>;

>	N:=NullSpace(Transpose(BB));

>	NB:=[N[1],N[2],B(lambda),B(mu)]:

>	P:=convert(GramSchmidt(NB,conjugate=false,normalized),Matrix);

>	P1:=Transpose(P):

>	sqrt(6)*P;

Proben:

>	Multiply(P1,P),Determinant(P);

gemeinsamer Stützvektor für die durch  und  gegebenen Hyperebenen:

>	v:=<1,-1,-1,1>;

>	#v:=<2,0,2,0>;

Probe:

>	fl:=u->subs(seq(x||k=u[k],k=1..4),lambda):

>	fm:=u->subs(seq(x||k=u[k],k=1..4),mu):

>	fl(v),fm(v);

Bestimmung der Transformation 1  des Polynoms  :

>	y:=<seq(y||k,k=1..4)>:

>	AA:=P1.A.P;

>	phi||1:=sort(expand(Transpose(P.y+v).A.(P.y+v)+c),[y1,y2,y3,y4],plex);

>	bb:=2*P1.A.v;

>	cc:=Transpose(v).A.v+c;

Probe:

>	expand(phi||1-(Transpose(y).AA.y+Transpose(y).bb+cc));

>	lambda||1:=collect(Transpose(B(lambda)).(P.y+v)+tcoeff(lambda),[y1,y2,y3,y4]);

>	mu||1:=collect(Transpose(B(mu)).(P.y+v)+tcoeff(mu),[y1,y2,y3,y4]);

>	sy3:=solve(lambda||1,y3);

>	sy4:=solve(mu||1,y4);

>	psi:=sort(simplify(subs(y3=sy3,y4=sy4,phi||1)),[y1,y2,y3,y4],plex);

So sieht die Kurve aus:

>	plots[implicitplot](psi,y1=-100..100,y2=-100..100,numpoints=10000,scaling=constrained,axes=boxed);

So sieht die ursprüngliche Fläche (" ") in der Hyperebene x4=1 aus:

>	plots[implicitplot3d](subs(x4=1,phi),x1=-10..10,x2=-10..10,x3=-10..10,numpoints=10000,axes=boxed,scaling=constrained);

Sieht sie wirklich so aus, oder hat implicitplot zu ungenau gerechnet in der Nähe des Nullpunktes, was durchaus vorkommen kann ?

Wie sieht der Schnitt mit der Ebene x3=0 aus ?

>	subs(x4=1,x3=0,phi);

>	plots[implicitplot](subs(x4=1,x3=0,phi),x1=-10..10,x2=-10..10,numpoints=50000,scaling=constrained);

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