Kunst sieht Mathematik |Arbeiten

Manuela Sekulic:

Ebene Geometrie, Axiomatische Begründung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie, Ernst Kunst, Verlag Vieweg, Wiesbaden 1976.

Vor etwa 2300 Jahren hat Euklid das mathematische Wissen seiner Zeit in seinen Elementen zusammengetragen. In den ersten sechs Büchern der Elemente hat er insbesondere die ebene Geometrie entwickelt nach einer Methode, die seitdem für die ganze Mathematik charakteristisch geblieben ist.
Die Geometrie wurde auf Axiome gegründet, also Aussagen, die angenommen wurden. Aus diesen wurden Schlussfolgerungen gezogen.

Hilbert hat eine Neubegründung der Geometrie vorgenommen, in der die von Euklid entdeckten Mängel beseitigt wurden. Hilbert gab dem Axiomensystem für die euklidische Geometrie an, von dem man heute glaubt, dass es alle der euklidischen Geometrie zu Grunde liegenden unbewiesenen Annahmen auch wirklich enthält.

§1 Punkte und Geraden
In der ebenen Geometrie beschäftigt man sich zunächst mit Punkten und Geraden. Was sind "Punkte", was "Gerade"?
Bei Euklid lesen wir: "Ein Punkt ist etwas, das keine Teile hat".

Perron hat folgende "Definition" vorgeschlagen: "Ein Punkt ist genau das, was sich der intelligente, aber harmlose, unverbildete Mensch darunter vorstellt."
Für den rein logischen Aufbau der Geometrie spielt es in Wirklichkeit gar keine Rolle, was Punkte und Geraden an sich sind. Worauf es ankommt sind die Beziehungen der Punkte und Geraden zueinander. Dies ist der Standpunkt der von Hilbert besonders betont wurde. Bei einem solchen Aufbau der Geometrie muss man nach einem Ausspruch Hilberts, "jederzeit an Stelle von "Punkte, Geraden, Ebenen" "Tische, Stühle, Bierseidel" sagen können."
Man drückt dies heutzutage so aus:

a) Gegeben sei eine Menge E, deren Elemente Punkte (von E) genannt werden.

b) Gegeben sei ferner eine Menge G von Teilmengen von E, deren Elemente Geraden (von E) genannt werden.
Welche Beziehungen zwischen Punkten und Geraden bestehen sollen, wird durch die Axiome geregelt. Wir verwenden folgende Axiome:
A1) Zu je zwei Punkten A, B Element aus E gibt es eine Gerade g Element aus G mit A, B
Element aus g.
A2) Zu zwei verschiedenen Punkten A, B Element aus E gibt es höchstens eine Gerade g
Element aus G mit A, B Element aus g.
A3) Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte.
A4) Es gibt drei Punkte in E, die nicht auf der Geraden liegen.

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